环上的模

我们知道，对于一个群$G$,和$G$的正规子群$H$,我们可以作商群$G/H$,且两个群直接的同态的image 和kernel都是正规子群。而对于交换群，性质会更好:交换群$G$的任意子群$H$，我们都可以作商群$G/H$。然而，对于环来说，我们不能对一个环$R$的子环作商环，并且环同态的image和kernel都不是子环。环中重要的子集是理想，我们可以对环$R$的理想$I$作商环$R/I$,但是理想并不是环的子结构。所以环范畴的性质不如交换群范畴好，我们需要在环上引入一种更好的代数结构:模。

定义

简单来说,(左$R$)模是环$R$在交换群$M$的上的作用。即环同态

$\sigma: R\longrightarrow \mathrm{End}(M)$

它可以诱导出作用$\rho$

$\rho:R\times M\to M$ $\rho(r,m)=\sigma(r)(m)$

记像$\rho(r,m)=rm$,该作用满足对于任意$r,s\in R,m,n\in M$

$(r+s)m=rm+sm$
$r(m+n)=rm+rn$
$(rs)m=r(sm)$
$1m=m$

反过来，满足上述三条性质的作用$\rho$，唯一确定了一个环同态$\sigma$，
称这个作用为左R-模。同样地，我们可以定义右R模。

简单性质与例子

$M$是左R-模，则

$0m=0$
$(-1)m=-m$

命题交换群$G$是$\mathbb{Z}$-模，且该模是唯一的

证 :因为$\mathbb{Z}$是Ring范畴的initial object,故存在唯一的环同态

$\mathbb{Z}\to \mathrm{End}(M)$ $na=\underbrace{a+a+\cdots+a}_{n 个}$

由于$\mathbb{Z}$-模也是交换群，故Z-Mod范畴与Ab范畴是等价的(等价这个词是否准确?)

R-Mod 范畴

(左)R-模之间的同态定义为保持模结构的群同态，设$M,M’$是R-模，则模同态$\varphi$满足,对任意$r\in R,m,m’\in M$

$\varphi(m+m’)=\varphi(m)+\varphi(m’)$
$\varphi(rm)=r\varphi(m)$

显然，模同态的复合还是模同态，恒等映射是模同态，故所有R-模构成范畴R-Mod.

对于交换群范畴Ab来说，若$M,N\in \text{Obj(Ab)}$,则$\text{Hom}_{Ab}(M,N)\in \text{Obj}(Ab)$(如果再两个同态之间定义了加法，$M,N$的所有同态按加法构成交换群)

这个性质在R-Mod范畴中也成立。
若 $M,N\in \text{Obj(R-Mod)}$ , $\varphi\in \text{Hom}{\text{R-Mod}}(M,N)$ ,定义 $R$ 在 $\text{Hom}{\text{R-Mod}}(M,N)$ 上的作用
$(r\varphi)(m)=r\varphi(m)$
则$\text{Hom}_{\text{R-Mod}}(M,N)$也是R-模

R-代数
任意环同态$\alpha :R\to S$可以诱导出R-模$S$：定义$R$在$S$(环$S$当然是交换群)上的作用
$\rho :R\times S\longrightarrow S$ $rs=\alpha(r)s$

可以验证，在该作用下，$S$是R-模。若$R=S$，$\alpha=\mathrm{id}_R$,则$R$可以看出自身上的模。

若$R$是交换环，且$\alpha(R)$包含在$S$中心，即$\alpha(r)$与$S$的每个元素和换，则有

$(r_1 s_1)(r_2 s_2)=\alpha(r_1)s_1\alpha(r_2)s_2=\alpha(r_1)\alpha(r_2)s_1 s_2=(r_1 r_2)(s_1 s_2)$

$R$的元素可以在$S$的乘法中自由移动，这时称$S$(或$\alpha$)为R-代数，若$S$还是除环，称$S$为R-可除代数，若$R$还是域，可简称可除代数。

R-Alg 范畴

R-代数之间的同态定义为保持模结构的环同态。若$\varphi$是R-代数$S$与$S’$的同态，则$\varphi$满足

足,对任意$r\in R,s,s’\in S$

$\varphi(s+s’)=\varphi(s)+\varphi(s’)$
$\varphi(ss’)=\varphi(s)\varphi(s’)$
$\varphi(1)=1$
- $\varphi(rs)=r\varphi(s)$

显然，R-代数同态的复合还是R-代数同态，恒等映射是R-代数同态，故所有R-代数构成R-Alg范畴。

例子 $\mathbb{Z}$ -Alg 范畴

设$S$是$\mathbb{Z}$-代数,环同态

$\mathbb{Z}\longrightarrow S$

是被唯一确定的，且$ns=\underbrace{s+s+\cdots+s}_{n \ \text{time}}$
，故每一个环$S$都对于唯一的$\mathbb{Z}$-代数，而$\mathbb{Z}$-代数都是环，所以环与$\mathbb{Z}$-代数一一对应，Ring范畴与 $\mathbb{Z}$ -Alg 范畴可以看成是相同的。

子模与商

子模

R-模$M$的子集$N$称为是$M$的子模，如果$N$是R-模，且inclusion map $N\to M$是模同态

例子

环$R$看成自身上的R模,它的子模就是是$R$的理想(如果是左模就是左理想)

模同态$M\to M’$的image和kernel分别是$M’$和$M$的子模

商模

设$M$是左R-模，$N$是$M$的子模，则$N$是$M$的子群，我们可以作出商群$M/N$,自然映射$\pi:M\to M/N$是群同态，要使它为模同态，必须

$\pi(rm)=r\pi(m),\forall r\in R$

即

$r(m+N)=rm+N$

所以，我们只需用上式定义$R$在交换群$M/N$上的作用(可以验证上式定义良好)，就能使$M/N$成为R-模,且$\varphi$是模同态，称$M/N$为模$M$对$N$的商模

模同构定理

泛性质

设$M$是R-模，$N$是$M$的子模，对于任意模同态 $\varphi : M\to M’$满足$\text{ker}\varphi\supe N$,存在唯一的模同态$\tilde{\varphi}:M/N\to M’$使得$\tilde{\varphi} \circ \pi=\varphi$

映射分解定理

第一同构定理

第三同构定理

$M/N$的子模与包含$N$的$M$的子模一一对应

modules over a ring

环上的模

定义